Referência rápida
Regras de derivação
Esta página reúne, numa única tabela de referência, todas as regras de derivação e as derivadas das funções mais comuns em cálculo diferencial. Use-a como consulta rápida enquanto resolve exercícios, ou como complemento ao nosso guia completo sobre como calcular derivadas.
O que é uma regra de derivação
Uma regra de derivação é um resultado matemático já demonstrado que permite calcular a derivada de um tipo de função ou combinação de funções sem ter de recorrer à definição de limite todas as vezes. Em vez de calcular lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h manualmente para cada função, aplicamos a regra correspondente à estrutura da expressão: uma potência, uma soma, um produto, um quociente ou uma função composta.
Cada regra desta página foi demonstrada rigorosamente a partir da definição de limite, uma única vez, para sempre. Não precisa de refazer essa demonstração cada vez que deriva uma função nova: basta identificar corretamente qual regra se aplica à estrutura do seu problema e aplicá-la de forma mecânica, exatamente como faria com uma fórmula de área ou de volume em geometria.
Tabela 1: regras algébricas gerais
| Regra | Fórmula | Quando usar |
|---|---|---|
| Potência | d/dx (xⁿ) = n·x^(n-1) | Uma variável elevada a um expoente constante (x², x³, x^(1/2), x⁻¹...) |
| Constante múltipla | d/dx (c·u(x)) = c·u'(x) | Uma função multiplicada por um número fixo |
| Soma / diferença | d/dx (f ± g) = f' ± g' | Vários termos somados ou subtraídos |
| Produto | d/dx (u·v) = u'·v + u·v' | Duas funções multiplicadas entre si (x·sin(x)) |
| Quociente | d/dx (u/v) = (u'·v - u·v') / v² | Uma função a dividir outra (x² / (x+1)) |
| Cadeia | d/dx (u(v(x))) = u'(v(x))·v'(x) | Uma função dentro de outra (sin(x²), (3x+1)⁵) |
Tabela 2: funções trigonométricas
| Função | Derivada |
|---|---|
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | sec²(x) |
| sec(x) | sec(x)·tan(x) |
| csc(x) | -csc(x)·cot(x) |
| cot(x) | -csc²(x) |
Tabela 3: funções trigonométricas inversas
| Função | Derivada |
|---|---|
| arcsin(x) | 1 / √(1-x²) |
| arccos(x) | -1 / √(1-x²) |
| arctan(x) | 1 / (1+x²) |
Estas derivadas são menos usadas num curso introdutório, mas aparecem com frequência em cálculo integral (como resultado de certas integrais) e em aplicações de física e engenharia.
Tabela 4: funções exponenciais e logarítmicas
| Função | Derivada |
|---|---|
| eˣ | eˣ |
| aˣ (a constante) | aˣ·ln(a) |
| ln(x) | 1/x |
| logₐ(x) (a constante) | 1 / (x·ln(a)) |
| √x | 1 / (2√x) |
| 1/x | -1/x² |
Repare que eˣ é a única função elementar que é a sua própria derivada, uma propriedade que a torna central em equações diferenciais e em modelos de crescimento exponencial.
Como escolher a regra certa
Perante uma função nova, pergunte-se pela ordem seguinte:
- A função é uma soma ou diferença de vários termos? Derive cada termo separadamente e some os resultados (regra da soma).
- Sobra um único termo que é uma potência de x multiplicada por uma constante? Aplique a regra da potência e a regra da constante múltipla.
- O termo é o produto de duas funções distintas de x? Aplique a regra do produto.
- O termo é uma fração com x tanto no numerador como no denominador? Aplique a regra do quociente.
- Existe uma função dentro de outra (por exemplo, algo elevado a uma potência, ou dentro de sin/cos/ln/e)? Aplique a regra da cadeia, derivando de fora para dentro.
Regras combinadas: exemplo
Muitas funções reais combinam várias regras ao mesmo tempo. Considere f(x) = x²·sin(3x).
É um produto de duas funções: u(x) = x² e v(x) = sin(3x). Pela regra do produto, f'(x) = u'·v + u·v'. Calculamos u' = 2x pela regra da potência. Para v' = d/dx (sin(3x)), a função interna é 3x, portanto aplicamos a regra da cadeia: v' = cos(3x)·3 = 3·cos(3x).
Juntando tudo: f'(x) = 2x·sin(3x) + x²·3·cos(3x) = 2x·sin(3x) + 3x²·cos(3x).
Pode confirmar este resultado na nossa calculadora de derivadas, escrevendo x^2*sin(3*x) no campo da função.
Derivadas de ordem superior: notação e significado
As regras acima aplicam-se sempre que deriva uma função uma vez, mas nada impede que derive o resultado outra vez. A 2ª derivada de f(x), escrita f''(x) ou d²f/dx², é simplesmente a derivada da 1ª derivada: f''(x) = d/dx [f'(x)]. Da mesma forma, a 3ª derivada f'''(x) é a derivada da 2ª derivada, e assim sucessivamente.
Fisicamente, se f(x) representa a posição de um objeto em função do tempo, a 1ª derivada f'(x) é a velocidade e a 2ª derivada f''(x) é a aceleração. Em geometria, a 2ª derivada mede a curvatura da função: onde f''(x) é positiva, o gráfico é côncavo para cima (forma de "U"); onde é negativa, é côncavo para baixo.
- Exemplo: se f(x) = x⁴, a 1ª derivada é f'(x) = 4x³ (regra da potência).
- A 2ª derivada é a derivada de 4x³, ou seja, f''(x) = 12x².
- A 3ª derivada é a derivada de 12x², ou seja, f'''(x) = 24x.
- Cada ordem sucessiva aplica exatamente as mesmas regras (potência, soma, produto, quociente, cadeia) ao resultado da ordem anterior, sem exceções.
Onde aprender o método completo
Esta página é uma tabela de referência, não um tutorial passo a passo. Se está a aprender cálculo diferencial pela primeira vez, ou precisa de rever a definição formal de derivada e um exemplo totalmente resolvido, consulte o nosso guia como calcular derivadas. Todas as funções desta página podem ser verificadas diretamente na nossa calculadora, incluindo a 2ª e 3ª derivada, sem que nenhum dado saia do seu navegador (ver a nossa política de privacidade).
Perguntas frequentes
Qual é a regra de derivação mais usada?
Como sei se preciso da regra do produto ou da regra da cadeia?
Existe uma tabela de derivadas para funções hiperbólicas?
Posso verificar estas regras diretamente na calculadora?
Aplique estas regras na prática
Escreva qualquer função e veja qual regra a calculadora aplica.
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